定义在R+上的函数f(x)满足①对任意m有f(x^m)=mf(x),②f(2)=1(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立(2)证明：f(x)是R+上的单调增函数(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围

方法一
1.f(xy)=f[e^(lnx+lny)]=(lnx+lny)f(e)
f(x)+f(y)=f[e^lnx]+f[e^lny]=lnxf(e)+lnyf(e)
所以f(xy)=f(x)+f(y)
2.任取0f(x2)-f(x1)=f[x1*(x2/x1)]-f(x1)=f(x1)+f(x2/x1)-f(x1)=f(x2/x1)
而f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0
f(x2/x1)=f[2^log2(x2)/2^log2(x1)]=f[2^(log2(x2/x1)]=log2(x2/x1)f(2)>0
所以f(x)为增函数
3.f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤2
f(4)=log2(4)f(2)=2
所以x(x-3)≤4
-1≤x≤4
而x-3>0
故3方法2
( 先对符号说明下，log2(x)表示以2为底x的对数。)
对于任意的x>0, f(x)=f(2^(log2(x))=log2(x)*f(2)=log2(x)
即 f(x)=log2(x)
(1) f(xy)=log2(xy)=log2(x)+log2(y)=f(x)+f(y).
(2) 由于f(x)=log2(x)，底数大于1，显然f(x)是R+上的单调增函数.
(3) f(x)+f(x-3)=log2(x)+log2(x-3)=log2(x(x-3)), 而2=log2(4),
所以，不等式等价于 log2(x(x-3))≤log2(4) .
因此， x(x-3)≤4
解得 -1≤x≤4。
另外，由于函数f(x)定义在R+上，所以 x>0并且x-3>0.
故x的取值范围为3方法3
(1)f(xy)=f(x^(1+logx(y)))=(1+logx(y))*f(x)=f(x)+logx(y)*f(x)=f(x)+f(x^logx(y))=f(x)+f(y)
(2)任意0因为x2/x1>1，所以存在y>0，使得(x2/x1)^y=2，从而f(x2/x1)=1/y*f((x2/x1)^y)=1/y*f(2)=1/y>0
即f(x2)-f(x1)>0，所以f(x)单增
(3)x>0，x-3>0，所以x>3，又因为2>=f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3))且f(x)单增，2=2*f(2)=f(2^2)=f(4)
所以
x*(x-3)综上，3基本就全了！

( 先对符号说明下，log2(x)表示以2为底x的对数。)
对于任意的x>0, f(x)=f(2^(log2(x))=log2(x)*f(2)=log2(x)
即 f(x)=log2(x)
(1) f(xy)=log2(xy)=log2(x)+log2(y)=f(x)+f(y).
(2) 由于f(x)=log2(x)，底数大于1，显然f(x)是R+上的单调增函数.
(3) f(x)+f(x-3)=log2(x)+log2(x-3)=log2(x(x-3)), 而2=log2(4),
所以，不等式等价于 log2(x(x-3))≤log2(4) .
因此， x(x-3)≤4
解得 -1≤x≤4。
另外，由于函数f(x)定义在R+上，所以 x>0并且x-3>0.
故x的取值范围为3

1.f(xy)=f[e^(lnx+lny)]=(lnx+lny)f(e)
f(x)+f(y)=f[e^lnx]+f[e^lny]=lnxf(e)+lnyf(e)
所以f(xy)=f(x)+f(y)
2.任取00
故3

(1)f(xy)=f(x^(1+logx(y)))=(1+logx(y))*f(x)=f(x)+logx(y)*f(x)=f(x)+f(x^logx(y))=f(x)+f(y)
(2)任意0因为x2/x1>1，所以存在y>0，使得(x2/x1)^y=2，从而f(x2/x1)=1/y*f((x2/x1)^y)=1/y*f(2)=1/y>0
即f(x2)-f(x1)>0，所以f(x)单增
(3)x>0，x-3>0，所以x>3，又因为2>=f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3))且f(x)单增，2=2*f(2)=f(2^2)=f(4)
所以
x*(x-3)综上，3