f(x)在[0,1]上有意义,单调不增,证明对任何0
问题描述：
f(x)在[0,1]上有意义,单调不增,证明对任何0
答
[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx]
=[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→a)f(x)dx+∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]
=a(1-a)[f(u)-f(v).
最后第二个等式是根据f(x)在[0,1]上连续,利用积分中值定理得到,其中 0≤u≤a≤v≤1.
根据f(x)在[0,1]上单调减少,所以有f(u)≥f(v),
这就得到了 ∫(0→a)f(x)dx-a∫(0→1)f(x)dx≥0,
即 ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0这步(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]到这步怎么来的 =(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]∫(0→a)f(x)dx=af(u) ，其中u∈（0，a）∫(a→1)f(x)dx=(1-a)f(v) ,v∈（a，1）这两个都是由积分中值定理得来的