已知函数f(x)=x+1/x+1，g(x)=ax+5-2a(a＞0)． （Ⅰ）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明； （Ⅱ）若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g（m0）=f（m）成立，求实数a的取值范围
问题描述：
已知函数f(x)=x+
，g(x)=ax+5-2a(a＞0)．1 x+1
（Ⅰ）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅱ）若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g（m0）=f（m）成立，求实数a的取值范围．
答
（Ⅰ）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，
证明如下：设0≤x1＜x2≤1，
则f1(x)-f2(x)=x1+
-x2-1
x1+1
=(x1-x2)+1
x2+1
=
x2-x1
(x1+1)(x2+1)
，(x1-x2)(x1x2+x1+x2) (x1+1)(x2+1)
∵（x1-x2）＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，（x1x2+x1+x2）＞0，
∴f1（x）-f2（x）＜0，即f1（x）＜f2（x），
∴函数f（x）在[0，1]上的单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当m∈[0，1]时，f(m)∈[1，
]，3 2
∵a＞0，g（x）=ax+5-2a在[0，1]上的单调递增，
∴m0∈[0，1]时，g（m0）∈[5-2a，5-a]．
依题意，只需[1，
]⊆[5-2a，5-a]，3 2
∴
，
5-2a≤1 5-a≥
3 2
解得2≤a≤
，7 2
即 实数a的取值范围[2，
]．7 2