O为坐标原点,抛物线y2=4x与其过交点的直线交于A,B两点,则向量OA*向量OB=?
问题描述:
O为坐标原点,抛物线y2=4x与其过交点的直线交于A,B两点,则向量OA*向量OB=?
答
向量OA*向量OB=|OA|*|OB|*cos(∠AOB);
在三角形OAB中,由余弦定理:AB²=OA²+OB²-2*OA*OB*cos(∠AOB);
以上两式比较,向量OA*向量OB=(OA²+OB²-AB²)/2
已知抛物线y2=4x的焦点(1,0),设直线AB解析式为y=k(x-1),代入可得交点A、B横坐标:k²(x+1)²=4x;
从而有 Xa*Xb=1,Ya*Yb=-√(4Xa*4Xb)=-4;(y坐标一正一负)
因 OA²=Xa²+Ya²,OB²=Xb²+Yb²,AB²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²;
故 OA²+OB²-AB²=(Xa²+Ya²)+(Xb²+Yb²)-[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²]=2*Xa*Xb+2*Ya*Yb=2*1-2*4=-6;
所以 向量OA*向量OB=-6/2=-3;