设A是n阶方阵,求证:A^2=E的充分必要条件是r(E A) r(E-A)=n

问题描述:

设A是n阶方阵,求证:A^2=E的充分必要条件是r(E A) r(E-A)=n
r(E+A)+r(E-A)=n

证明:必要性:若A^2=E,则(A-E)(A+E)=0,于是rank(A-E)+rank(A+E)=rank(A+E-(A-E))=n于是rank(E+A)+rank(E-A)=n充分性:考虑(E+A 0) 用行列变换 ---(E+A,0)--(E+A,E+A)--( (E-A^2) 0 ) (0 E-A) (E+A,E-A) (E+A,...