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定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=1/4x-a/2x（a∈R）．（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

分类: 作业答案 • 2022-01-20 11:56:43

问题描述：

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

答

（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
∴f（-x）=

1

4−x

−

a

2−x

=4^x-a•2^x，
∴f（x）=f（-x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
（Ⅱ）∵f（x）=4^x-a•2^x，x∈[0，1]．
令t=2^x，t∈[1，2]，
∴g(t)＝t2−a•t＝(t−

a

2

)2−

a2

4

，
当

a

2

≤

3

2

，即a≤3，g(t)max＝g(2)＝4−.2a，
当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，g(t)max＝g(1)＝1−a，
综上：当a≤3时，f（x）最大值为4-2a；
当a＞3时，．f（x）最大值为1-a．