设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an.
问题描述：
设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an.
(1)证明：数列{1／Tn}成等差数列；(2)求{an}的通项.（3）设Sn=T1的方+T2的方+.+Tn的方,求证An+1-1/2
数学人气：459 ℃时间：2020-08-14 13:42:25
优质解答
（1）依题意,得T1=1-a1=1-T1则a1=T1=1/2
Tn=1-an=1-Tn/Tn-1 即1=1/Tn-1/Tn-1
所以数列{1/Tn}是首项为1/T1=2,公差为1的等差数列
（2）由（1）所证1/Tn=2+n-1=n+1所以Tn=1/（n+1）
所以an=1-Tn=n/（n+1）
（3）Sn=1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/（n+1）^2
1/2*3+1/3*4……+1/(n+1)(n+2)=1/2-1/n+2=(n+1)/(n+2)-1/2
=an+1-1/2
故命题得证!
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答
（1）依题意,得T1=1-a1=1-T1则a1=T1=1/2
Tn=1-an=1-Tn/Tn-1 即1=1/Tn-1/Tn-1
所以数列{1/Tn}是首项为1/T1=2,公差为1的等差数列
（2）由（1）所证1/Tn=2+n-1=n+1所以Tn=1/（n+1）
所以an=1-Tn=n/（n+1）
（3）Sn=1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/（n+1）^2
1/2*3+1/3*4……+1/(n+1)(n+2)=1/2-1/n+2=(n+1)/(n+2)-1/2
=an+1-1/2
故命题得证!