已知e是自然对数的底数,lnx是底数等于e的对数函数.设b>a>e,请证明不等式alnb
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已知e是自然对数的底数,lnx是底数等于e的对数函数.设b>a>e,请证明不等式alnb
数学人气：887 ℃时间：2020-05-11 09:35:22
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雪剑20:百度搜索
令f(x)=xlna-alnx,x>=a.
则f(x)的导数lna-a/x.
因为b>a>e,所以lna>1.
而当x>a时,a/x所以当x>a时,y的导数>0.
所以函数f(x)=xlna-alnx在x>a时是增函数.
又函数f(x)=xlna-alnx在x=a处连续.
所以函数f(x)=xlna-alnx在x>=a时是增函数,
所以f(b)>f(a),即blna-alnb>alna-alna=0.
所以blna-alnb>0
所以blna>alnb
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令f(x)=xlna-alnx,x>=a.
则f(x)的导数lna-a/x.
因为b>a>e,所以lna>1.
而当x>a时,a/x所以当x>a时,y的导数>0.
所以函数f(x)=xlna-alnx在x>a时是增函数.
又函数f(x)=xlna-alnx在x=a处连续.
所以函数f(x)=xlna-alnx在x>=a时是增函数,
所以f(b)>f(a),即blna-alnb>alna-alna=0.
所以blna-alnb>0
所以blna>alnb