设函数f（x）=a/x+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[1/2，2]，都有f（s）≥g（t）成立，

问题描述：

设函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

答

（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)＝3x(x−

)
∴g（x）在（0，

）上单调递减，在（

，2）上单调递增
∴g（x）_min=g（

）=-

，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=

112

∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

，2]上，f（x）=

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当

＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（

，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1

设函数f（x）=a/x+xlnx，g（x）=x3-x2-3． （I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； （II）如果对于任意的s、t∈[1/2，2]，都有f（s）≥g（t）成立，