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设f（x）=a/x+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率；（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 15:50:14

问题描述：

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M．

答

（1）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，f′(x)＝−

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1处的切线斜率为-1；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
当x∈（0，

2

3

）时，g′（x）＜0，当x∈（

2

3

，2）时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴满足条件的最大整数M=4