设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f(x)x=0，证明级数∞n＝1f（1/n）绝对收敛．
问题描述：
设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且
lim x→0
=0，证明级数f(x) x
f（∞ n＝1
）绝对收敛． 1 n
答
∵f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一邻域均连续
且：
lim x→0
＝0f(x) x
∴f（x）=f（0）=0
lim x→0
＝0 f(x)−f(0) x
∴f’（0）=0
∴
lim x→0
＝f(x) x2
lim x→0
＝f’(x) 2x
lim x→0
＝f’(x)−f’(0) 2x
f’’(0) 1 2
∴
|lim n→∞
|是一常数f(
)1 n (
)2
1 n
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛