一道利用泰勒公式的证明题设函数f(x)在点附近有n+1阶连续导数,且f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=0,f(n+1)(x0)≠0 证明：若n为奇数,则点x0是f(x)的极值点；若n为偶数,则点x0不是f(x)的极值点
问题描述：
一道利用泰勒公式的证明题
设函数f(x)在点附近有n+1阶连续导数,且f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=0,f(n+1)(x0)≠0 证明：若n为奇数,则点x0是f(x)的极值点；若n为偶数,则点x0不是f(x)的极值点
答
对于f(x)在x0点的泰勒公式,由于f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=0,所以泰勒公式中从第二项到第n项都为0,所以只剩下第一项和第n+1项,即f(x)=f(x0)+[f(n+1)(x0)/(n+1)!](x-x0)^(n+1),所以此式左右两边求导得f'(x)=[f(n+1)(x...