计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
问题描述：
计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
我看了有别人提问过这个,但是回答是要分段积分.
如果我一次积分dx,二次积分dy,那是不是可以不用分段呢?
但是我这样做出来后和标准答案不一样.
答
∫∫（x^2+y^2）dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx （其中[ ] 表示上下限）=∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy=(y^4/12-(y-a)^4/12+a*y^3/3)[a,3a]=3^4*a^4/12-2^4*a^4/12+3^3*a^4/3-a^4/12+0-a^4/3=（81/12-16...∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx 这一步我算出来是a^3/3+ay^2，怎么你不见了那个a^3/3??∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx =(x^3/3+y^2*x)[y-a,y]=y^3/3-(y-a)^3/3+y^2*y-y^2*(y-a)=y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2所以∫∫（x^2+y^2）dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx =∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy