四面体A-BCD 的四个顶点都在半径为2的球上,且AB、AC、AD两两互相垂直,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为( )
问题描述:
四面体A-BCD 的四个顶点都在半径为2的球上,且AB、AC、AD两两互相垂直,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为( )
A.8
B.6
C.4
D.2根号3
答
设AB=a、AC=b、AD=c.
∵S△ABC+S△ABD+S△ACD
=(ab+bc+ca)/2
又∵ab≤(a^2+b^2)/2;
bc≤(b^2+c^2)/2;
ca≤(c^2+a^2)/2,
∴ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2,
而a^2+b^2+c^2=4^2=16,
∴S△ABC+S△ABD+S△ACD≤8,即最大值8.选A.
注意:本题的图形是在一个球面内有一个内接长方体,AB、AC、AD是从长方体一个顶点出发的三条棱.因此,a^2+b^2+c^2=4^2=16.
事实上,凡是过一点的三条线段两两垂直,垂直的三条线段,都可以作为长方体的三条相邻的棱.