若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是(  ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(1,3] D.(1,3)

问题描述:

若双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是(  )
A. [3,+∞)
B. (3,+∞)
C. (1,3]
D. (1,3)

依题意可知双曲线渐近线方程为y=±

b
a
x,与抛物线方程联立消去y得x2±
b
a
x+2=0 
∵渐近线与抛物线有交点
∴△=
b2
a2
-8≥0,求得b2≥8a2
∴c=
a2+b2
≥3a
∴e=
c
a
≥3.
则双曲线的离心率e的取值范围:e≥3.
故选A.