若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(1,3] D.(1,3)
问题描述:
若双曲线
−x2 a2
=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )y2 b2
A. [3,+∞)
B. (3,+∞)
C. (1,3]
D. (1,3)
答
依题意可知双曲线渐近线方程为y=±
x,与抛物线方程联立消去y得x2±b a
x+2=0 b a
∵渐近线与抛物线有交点
∴△=
-8≥0,求得b2≥8a2,b2 a2
∴c=
≥3a
a2+b2
∴e=
≥3.c a
则双曲线的离心率e的取值范围:e≥3.
故选A.