您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明 （1）sin2α+sin2β+sin2γ≥1/3； （2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥3/8．

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明 （1）sin2α+sin2β+sin2γ≥1/3； （2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥3/8．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:00:39
问题描述：

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥

1
3
；
（2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥
3
8
．

答

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥

1
3
．
（2）由恒等式tan2x=
1
cos2x
-1和若a，b，c＞0，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a+b+c
，
得tan2α+tan2β+tan2 γ=
1
cos2α
+
1
cos2β
+
1
cos2γ
-3≥
9
cos2α+cos2β+cos2γ
-3．
于是
9
cos2α+cos2β+cos2γ
=
9
3-(sin2α+sin2β+sin2γ)
≥
9
3-
1
3
=
27
8
，
由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥
27
8
-3=
3
8
．

相关推荐