如何用单位圆证明这道题目sin1/2*sin2/3*sin3/4...*sin2010/2011＜1/2010
问题描述：
如何用单位圆证明这道题目
sin1/2*sin2/3*sin3/4...*sin2010/2011＜1/2010
答
单位圆上，sinx表示弧长x对的圆心角的对边的长（见三角函数定义）
所以0
答
如图：
在单位圆中,sinx＝MA,cosx＝OM,tanx＝NT
连接AN,则S△OAN＜S扇形OAN＜S△ONT
设弧AN的长为l,则x＝l/r＝l
∴1/2ON•MA＜1/2ON•x＜1/2ON•NT
即MA＜x＜NT
又sinx＝MA,cosx＝OM,tanx＝NT
∴sinx＜x＜tanx
∵1/2,2/3,3/4,．．．2010/2011均为小于π/2的正数
由上面得出的结论：
sinx＜x
∴sin1/2＜1/2,sin2/3＜2/3,sin3/4＜3/4,．．．,sin2010/2011＜2010/2011
将以上2010道式相乘得：
sin1/2•sin2/3•sin3/4•．．．•sin2010/2011＜1/2•2/3•3/4•．．．•2010/2011＝1/2011＜1/2010
即sin1/2•sin2/3•sin3/4•．．．•sin2010/2011＜1/2010．
图片：