已知y1=(x+2)e^x/2x,y2=(xe^2x+2)/2xe^x,y3=e^x/2为微分方程xy''+2y'-xy=e^x的三个特解,则该方程的通解为
问题描述：
已知y1=(x+2)e^x/2x,y2=(xe^2x+2)/2xe^x,y3=e^x/2为微分方程xy''+2y'-xy=e^x的三个特解,则该方程的通解为
可不可以有过程
答
已经有了 3 个特解,注意分析它们的特征就能够得到结论.
y3 = e^x / 2 是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解；
y1 = (x + 2) e^x / (2x) = e^x / x + e^x / 2 = e^x / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解,可以知道
【 u(x) = e^x / x 】是齐次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
y2 = (x * e^(2x)+ 2) / (2x * e^x) = e^(-x) / x + e^x / 2 = e^(-x) / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解,可以知道【 v(x) = e^(-x) / x 】 是齐次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
综上,可以知道通解为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + y3 = C1 * e^x / x + C2 * e^(-x) / x + e^x / 2
其中,C1,C2为任意常数.