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如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F． （1）计算：AD=_，EF=_（用含a的式子表示）； （2）求证：DE=DF．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:02:03
问题描述：

如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F．

（1）计算：AD=______，EF=______（用含a的式子表示）；
（2）求证：DE=DF．

答

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=a，∠B=60°，
又D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=

1
2
a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=
AB2−BD2
=
3
2
a；
在Rt△EBD中，∠EDB=30°，
∴EB=
1
2
BD=
1
4
a，AE=AB-EB=
3
4
a，
同理得到AF=
3
4
a，
∴
AE
AB
=
AF
AC
=
3
4
，且∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AFE∽△ACB，
∴
EF
BC
=
3
4
，
则EF=
3
4
a；
故答案为：
3
2
a；
3
4
a；
（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

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