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已知AB∥CD，探究下列几种情况： （1）如图1，若∠EAF=1/2∠EAB，∠ECF=1/2∠ECD，求证：∠AFC=1/2∠AEC； （2）如图2，若∠EAF=1/3∠EAB，∠ECF=1/3∠ECD，求证：∠AFC=1/3∠AEC；

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:39
问题描述：

已知AB∥CD，探究下列几种情况：

（1）如图1，若∠EAF=

1
2
∠EAB，∠ECF=
1
2
∠ECD，求证：∠AFC=
1
2
∠AEC；
（2）如图2，若∠EAF=
1
3
∠EAB，∠ECF=
1
3
∠ECD，求证：∠AFC=
1
3
∠AEC；
（3）若∠AFC=
1
n
∠EAB，∠ECF=
1
n
∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是______（用含有n的代数式表示，不证明）．

答

（1）如图1，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA=180°-（x°+y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（x°+y°）]
=x°+y°
∴∠AFC=

1
2
∠AEC，
（2）如图2，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA=180°-（2x°+2y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∴∠AFC=
2
3
∠AEC，
（3）若∠AFC=
1
n
∠EAB，∠ECF=
1
n
∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=
n−1
n
∠AEC；

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