已知f（x）=lnx，g（x）=1/3x3+1/2x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0） （1）求直线l的方程及g（x）的解析式； （2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导
问题描述：
已知f（x）=lnx，g（x）=
x3+1 3
x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）1 2
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．
答
（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，
所以g(x)＝
x3+1 3
x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．1 2
⇒
g(1)＝0 g′(1)＝1
所以g(x)＝
m＝−1 n＝
1 6
x3+1 3
x2−x+1 2
（6分）1 6
（2）因为h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)＝
−2x−1＝1 x
＝−1−2x2−x x
（9分）(2x−1)(x+1) x
当0＜x＜
时，h′（x）＞0；当x＞1 2
时，h′（x）＜0（11分）1 2
因此，当x＝
时，h（x）取得最大值h(1 2
)＝1 2
−ln2（12分）1 4
所以函数h（x）的值域是(−∞，
−ln2]．（13分）1 4