已知α∈R，sinα+2cosα＝102，则tan2α=______．
问题描述：
已知α∈R，sinα+2cosα＝
，则tan2α=______．
10
2
答
已知等式两边平方得：（sinα+2cosα）2=sin2α+4sinαcosα+4cos2α=
，5 2
变形得：
=sin2α+4sinαcosα+4cos2α sin2α+cos2α
=tan2α+4tanα+4 tan2α+1
，5 2
整理得：3tan2α-8tanα-3=0，
即（3tanα+1）（tanα-3）=0，
解得：tanα=-
或tanα=3，1 3
当tanα=-
时，tan2α=1 3
=2tanα 1−tan2α
=-2×(−
)1 3 1−(−
)2
1 3
；3 4
当tanα=3时，tan2α=
=2tanα 1−tan2α
=-2×3 1−9
．3 4
故答案为：-
3 4
答案解析：已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，左边分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系变形，分子分母除以cos2α，得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，原式利用二倍角的正切函数公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
考试点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
知识点：此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．