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设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥13；（2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥38．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 22:38:17
问题描述：

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥

1
3
；
（2）tan2α+tan2β+tan2 γ≥
3
8
．

答

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥

1
3
．
（2）由恒等式tan2x=
1
cos2x
-1和若a，b，c＞0，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a+b+c
，
得tan2α+tan2β+tan2 γ=
1
cos2α
+
1
cos2β
+
1
cos2γ
-3≥
9
cos2α+cos2β+cos2γ
-3．
于是
9
cos2α+cos2β+cos2γ
=
9
3-(sin2α+sin2β+sin2γ)
≥
9
3-
1
3
=
27
8
，
由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥
27
8
-3=
3
8
．
答案解析：（1）根据柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，结合题中条件即可证得；
（2）由恒等式tan2x=
1
cos2x
−1和重要结论：“若a，b，c＞0，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a+b+c
，”即可得出：得tan2α+tan2β+tan2 γ=
1
cos2α
+
1
cos2β
+
1
cos2γ
-3≥
9
cos2α+cos2β+cos2γ
-3，再进行放缩即得．
考试点：一般形式的柯西不等式．
知识点：本小题主要考查一般形式的柯西不等式、三角函数的同角三角函数关系式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

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