若tan(a+b)=2tana,求证：3sinb=sin(2a+b)
问题描述：
若tan(a+b)=2tana,求证：3sinb=sin(2a+b)
答
tan(A+B)=2tanA
sin(A+B)/cos(A+B)=2sinA/cosA
sin(A+B)cosA=2sinAcos(A+B)
sin(A+B)cosA-sinAcos(A+B)=sinAcos(A+B)
sinB=sinAcos(A+B)
sin(2A+B)
=sin(A+B)cosA+sinAcos(A+B)
=3sinAcos(A+B)
3sinB=sin(2A+B)
答
解’要证3sinB=sin(2A+B)
即证3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
即证3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
即证2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
由已知条件可知cosacos(a+b)≠0，等号两边同时除以cosacos(a+b)
所以要证原式只需证：tan(a+b)=2tana
有已知条件得tan(a+b)=2tana成立
所以3sinb=sin(2a+b) 得证。
答
tan(A+B)=2tanAsin(A+B)/cos(A+B)=2sinA/cosAsin(A+B)*cosA=2sinA*cos(A+B) sin(A+B)*cosA-sinA*cos(A+B)=sinA*cos(A+B)sinB=sinA*cos(A+B)sin(2A+B)=sin(A+B)*cosA+sinA*cos(A+B)=3sinA*cos(A+B)3sinB=sin(2A+B)