已知x=1是函数f（x）=（ax-2）ex的一个极值点．（a∈R） （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）-f（x2）≤e．
问题描述：
已知x=1是函数f（x）=（ax-2）ex的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）-f（x2）≤e．
答
（Ⅰ）已知f′（x）=（ax+a-2）ex，f'（1）=0，∴a=1．
当a=1时，f′（x）=（x-1）ex，在x=1处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex．
当x∈[0，1]时，f′（x）=（x-1）ex≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）=（x-1）ex＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．
所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．
对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）-f（x2）≤fmax（x）-fmin（x）．
所以f（x1）-f（x2）≤0-（-e）=e．