已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
问题描述：
已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
答
设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），|PF1|=m，|PF2|=n． 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，∴4c2=4a2-3mn．即3mn=4a2-4c2． 又mn≤（ m+n2）2=...
答案解析：（1）由题意，可设|PF1|=m，|PF2|=n． 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．再由定义得出m+n=2a，然后进行恒等变形，将4c2=m2+n2-2mncos60°量m，n用a，c表示出来即可得出离心率的取值范围
（2）根据（1）中的结论，可算出△F1PF2的面积等于
b2，由此可得△F1PF2的面积仅与椭圆的短轴长有关．
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考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形，求三角形的面积并讨论椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单性质、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．