已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=−g(x)+n2g(x)+m是奇函数． （1）确定y=g（x）的解析式； （2）求m，n的值； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒
问题描述：
已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=
是奇函数．−g(x)+n 2g(x)+m
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
答
（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
（2）由（1）知：f（x）=
是奇函数．−2x+n
2x+1+m
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即
＝0，∴n=1；n−1 2+m
∴f（x）=
，又由f（1）=-f（-1）知−2x+1
2x+1+m
＝−1−2
4 +m
，∴m=2；1−
1 2 1 +m
（3）由（2）知f（x）=
＝−−2x+1
2x+1+2
+1 2
，1
2x+1
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
因f（x）为减函数，由上式推得：t2-2t＞k-2t2，
即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜−
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