奇函数f（x）=m−g(x)1+g(x)的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（-2t2+2t-5）＞0解集非空，求
问题描述：
奇函数f（x）=
的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．m−g(x) 1+g(x)
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（-2t2+2t-5）＞0解集非空，求实数k的取值范围．
答
（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0，a≠1），
则a2=4，∴a=2，
∴g(x)＝2x，f(x)＝
．m−2x
1+2x
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴
＝−m−2−x
1+2−x
，m−2x
1+2x
整理得m（2x+1）=2x+1，∴m=1，
∴f(x)＝
；1−2x
1+2x
（Ⅱ）∵f′(x)＝
＜0，∴y=f（x）在R上单调递减． −2.2xln2 (1+2x)2
也可用f(x)＝
−1为R上单调递减． 2 1+2x
要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）+f（-2t2+2t-5）＞0解集非空，
即对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）＞-f（-2t2+2t-5）解集非空．
∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2t+k）＞f（2t2-2t+5）解集非空，
又∵y=f（x）在R上单调递减，∴t2+2t+k＜2t2-2t+5，
当t∈[0，5]时有实数解，
∴k＜t2-4t+5=（t-2）2+1当t∈[0，5]时有实数解，
而当t∈[0，5]时，1≤（t-2）2+1≤10，
∴k＜10．