设三角形ABC是正三角形,则以A、B为焦点且过BC的中点的双曲线的离心率为?

问题描述:

设三角形ABC是正三角形,则以A、B为焦点且过BC的中点的双曲线的离心率为?

设正三角形变长为2,双曲线焦点位于X轴上,
由双曲线定义的2c=2,即c=1;
又过B,C中点设为p,因为是正三角形,Ap三线合一,
所以三角形ApB为直角三角形,可解出Ap=根号3,Bp=1,
由双曲线定义动点(p)到定点(A,B)的差为常数(2a),
所以 pA-pB=2a=根号3-1;
所以离心率e=c/a=2/(根号3-1),分母有理化下就出来了