正四面体各面中心连线组成的图形也是正四面体
问题描述：
正四面体各面中心连线组成的图形也是正四面体
如题,如何证明?
答
如图,若四面体A-BCD是正四面体,E、F是△ABC、△ACD的中心,
取AC中点M,连结BM、DM,EF
则BM经过点E,DM经过点F,且ME/BE=MF/MF=1/2,
∴ME/MB=MF/MD=1/3,
又∵∠EMF=∠BMD
∴△MEF∽△MBD,
∴EF/BD=ME/MB=1/3
即EF=1/3BD,
同理可证其他中心的连线都是棱长的1/3,
∴围成的平面图形都是正三角形,
∴正四面体各面中心连线组成的图形也是正四面体
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