a+b+c≥3倍三次根号下abc怎么证?
问题描述：
a+b+c≥3倍三次根号下abc怎么证?
答
【注：（1）缺少条件：a,b,c≥0.(2)黄金等式：x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx).而x²+y²+z²-xy-yz-zx=[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]/2.故有：x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]/2.易知,当x,y,z≥0时,x³+y³+z³-3xyz≥0.∴当x,y,z≥0时,x³+y³+z³≥3xyz.】证明：易知,当x,y,z≥0时,有x³+y³+z³≥3xyz.因a,b,c≥0.故可令a=x³,b=y³,c=z³.则abc=(xyz)³.∴xyz=(abc)^(1/3).代入上面的不等式得：a+b+c≥3(abc)^(1/3).【注：（abc)^(1/3)表示abc的三分之一次方,也即三次根号下的abc】