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若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1/a+4/b的最小值为_．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:57
问题描述：

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则

1
a
+
4
b
的最小值为______．

答

整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1
a
+
4
b
=（4a+b）（
1
a
+
4
b
）=8+
16a
b
+
b
a
≥8+2
16a
b
•
b
a
=16（当且仅当
16a
b
=
b
a
时等号成立．）
故答案为：16

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