已知a、b、m、n∈N+,{an}是首项为a,公差为b的等差数列;{bn}是首项为b,公比为a的等比数列,且满足a1<b1<a2<b2<a3. (1)求a的值; (2)数列{1+am}与数列{bn}的公共项,且公共项按原顺序

问题描述:

已知a、b、m、n∈N+,{an}是首项为a,公差为b的等差数列;{bn}是首项为b,公比为a的等比数列,且满足a1<b1<a2<b2<a3
(1)求a的值;
(2)数列{1+am}与数列{bn}的公共项,且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{cn},求{cn}的前n项之和Sn

(1)∵am=a+(m-1)b,bn=b•an-1
由已知a<b<a+b<ab<a+2b,
∴由a+b<ab,a、b∈N+a>1+

a
b

0<
a
b
<1
,∴a≥2.
又得b>1+
b
a
,而
b
a
>1
,∴b≥3.
再由ab<a+2b,b≥3,得a<
2b
b−1
=2(1+
1
b−1
)≤3

∴2≤a<3
∴a=2.
(2)设1+am=bn,即1+a+(m-1)b=b•an-1
∴3+(m-1)b=b•2n-1b=
3
2n−1−(m−1)
N+

∵b≥3,∴2n-1-(m-1)=1.∴2n-1=m.
∴cn=bn=3•2n-1
故Sn=3(1+2++2n-1)=3(2n-1).