在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+1/2sinC＝sinB． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．
问题描述：
在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+
sinC＝sinB．1 2
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．
答
（Ⅰ）∵sinAcosC+
sinC＝sinB1 2
由正弦定理及余弦定理得a×
+
a2+b2−c2
2ab
c＝b1 2
∴a2=b2+c2-bc
由余弦定理得cosA＝
＝
b2+c2−a2
2bc
1 2
∵A∈（0，π），
∴A＝
π 3
另∵sinAcosC+
sinC＝sinB1 2
∴sinAcosC+
sinC＝sinAcosC+cosAsinC1 2
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
从而cosA＝
1 2
∵A∈（0，π），
∴A＝
π 3
（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得
4=a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc
4≥(b+c)2−
(b+c)2＝3 4
(b+c)21 4
∴b+c≤4，当且仅当b=c=2时取“=”．
∴当b=c=2时，△ABC周长的最大值为6