已知x>0,证明不等式x>ln(1+x)

问题描述:

已知x>0,证明不等式x>ln(1+x)

令f(x)=x-ln(1+x)
则f'(x)=1-1/(1+x)
因为x>0,所以1-1/(1+x)=x/(1+x)>0
即f'(x)>0
所以f'(x)在x>0上是增函数,故f(x)>f(0)=0
所以x-ln(1+x)>0,即x>ln(1+x)

此题可用拉格朗日中值定理来求解
令f(x)=ln(1+x),则由题意可知f(x)在[0,x]上连续且在(0,x)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件
则f(x)=f(x)-f(0)=f'(a)(x-0)=x/(1+a) 其中0x/(1+x)

要证x>ln(1+x)(x>0)即证,x-ln(1+x)>0设f(x)=x-ln(1+x)求导可得:f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0在定义域(0,+无穷)上恒成立,所以f(x)单调增,得f(x)>f(0)=0得证x-ln(1+x)>0得证x>ln(1+x)(x>0)这种比较大小的题目,一般是构...