高中抽象函数题已知函数f(x)对任意的a b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.求证f(x)是R上的增函数.
问题描述：
高中抽象函数题
已知函数f(x)对任意的a b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.求证f(x)是R上的增函数.
答
设b为无穷小的正数，则有f（b）>1即f（a+b）-f（a）=f（b）-1>0对于a+b>b时永远有f(a+b)>f(b)成立所以是R上的正函数
答
证明：对任意x1,x2属于R不妨设x1>x2
f(x1)=f((x1-x2)+x2)
∵对任意的a b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1
∴f(x1)=f(x1-x2)+f(x2)-1
即 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
∵x1>x2
∴x1-x2>0
∴f(x1-x2)>1
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0
∴根据单调函数定义可知
f(x)是R上的增函数.