已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．
答
所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3．…（5分）
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g（x）=ax2-2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）
②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝
＞1，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（9分）
③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当
，即−
≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是−
≤a≤1．…（12分）
答案解析：（I）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．（II）令导函数f′（x）=-（x-1）（x-3）•e-x≤0在x∈[-1，1]时恒成立即可求出a的范围．
考试点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
知识点：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
（ I）当a=1时，f（x）=（x2-2x+1）•e-x，
f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x…（2分）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 |
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g（x）=ax2-2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）
②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝
| a+1 |
| a |
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（9分）
③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当
|
| 5 |
| 3 |
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是−
| 5 |
| 3 |
答案解析：（I）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．（II）令导函数f′（x）=-（x-1）（x-3）•e-x≤0在x∈[-1，1]时恒成立即可求出a的范围．
考试点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
知识点：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．