曲线 x^(1/2)+y^(1/2)=1在何处的切线斜率为-1?高数中导数习题

y = [ 1 - x^(1/2) ]^2 = 1 + x -2 x^(1/2)
dy/dx = 1 - x^( -1/2 ) = -1
解得
x = 1/4
y = 1/4

首先题目中提到了“切线斜率”。从高数的知识中我们知道切线斜率指的就是此函数的一阶导数y',所以求解这道题目时关键就是把一阶导数求出来。
因为x^(1/2)+y^(1/2)=1(注意：这是一个隐函数)
将上式两边关于x求导得：1/（2*x^(-1/2)）+1/(2*y^(-1/2))*y'=0;
将上式整理后得：y'=-(y/x)^(1/2);
由题意要求y'=-1,所以根据y'的表达式可知其要求y/x=1，即y=x
然后把y=x代入曲线方程后，可解得：x=y=0.25
即该曲线在（0.25，0.25）处的切线斜率为-1
解题关键：这道题主要是考察隐函数求导的知识。
O(∩_∩)O

y=(√x+1)^2
=x+2√x+1
求导
y'=1+1/√x
所以斜率不可能是-1

首先对x求导，y看作是x的函数，求导后如下式：
（1/2）x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)dy/dx=0
因为切线斜率为-1，所以dy/dx=-1代入上式。
化简得x=y，再结合原式
x^(1/2)+y^(1/2)=1
求得：x^(1/2)=0.5
x=y=0.25
所以在坐标（0.25，0.25）处切线斜率为-1。

（1/2）x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)y'=0
y'=-(x/y)^(-1/2)
x=y时,y'=-1=k
即2√x=1
x=1/4=y
(1/4,1/4)即是斜率=1的曲线上的点