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中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为32，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:04:21
问题描述：

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为

3
2
，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

答

设椭圆方程

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵e=
3
2
，
∴a2=4b2，即a=2b．
∴椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1．把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
则x1+x2=
8
5
，x1x2=
1
5
（4-4b2），
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）
=1-（x1+x2）+x1x2
=
1
5
（1-4b2）．
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=0，
解得b2=
5
8
，a2=
5
2
．
∴椭圆方程为
2
5
x2+
8
5
y2=1．

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