如图,抛物线y=-x²+2（k-1）x+k+1与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.线段OA与OB的长度之比为1：3.（1）求抛物线的解析式急A,B两点的坐标（2）以AB为直径的圆D与y轴的正半轴交于E点,过E做圆D的切线交x轴于F点,求F点的坐标AB位于y轴异侧

没图哇？那你告诉我，A、B是在y轴同侧还是异侧，否则就得讨论。

（1）令y=0，解方程，即AB两点坐标，利用OA与OB的长度之比为1：3.求出k
（2）求出圆方程即可解决

A(-1,0)B(3,0)

解:1)设点A为(-a,0),B为(b,0),则：a:b=1:3,b=3a.
由一元二次方程根与系数的关系可知：-a+b=2(k-1); -ab=-(k+1).
即：-a+3a=2a=2(k-1),a=k-1;
-3a²=-(k+1),-3(k-1)²=-(k+1), k=1/3或2。（k=1/3不合题意，舍去）
把k=2代入原抛物线解析式得：y=-x²+2x+3.
y=0时，0=-x²+2x+3,x=-1或3。故A为(-1,0),B为(3,0).
2)D为线段AB的中点，则D为（1,0),DE=(1/2)AB=2.
∵EF为圆D的切线。
∴∠DEF=∠DOE=90°；
又∠ODE=∠EDF，则⊿ODE∽⊿EDF,DE/DF=DO/DE.
∴DE²=DO*DF,2²=1*DF,DF=4,OF=DF-DO=3.故点F为(-3,0).

求根公式解出X1 X2相比等于正负3,分类讨论下,结束

令y=0,然后去解这个方程 得到A B两点坐标 根据长度比 列出比例式就OK了