已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.(1)证明:对任意的x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0(2)解不等式f(1-a)+f(1-a2)<0.

问题描述:

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.
(1)证明:对任意的x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0
(2)解不等式f(1-a)+f(1-a2)<0.

(1)若x1+x2=0,显然不等式成立;
若x1+x2<0,则-1<x1<-x2<1,∵函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,
∴f(x1)>f(-x2)=-f(x2),f(x1)+f(x2)>0,故原不等式成立;
同理可证当x1+x2>0  时,原不等式也成立.
(2)由f(1-a)+f(1-a2)<0 和已知可得以下不等式组

−1≤1−a2≤1
−1≤a−1≤1
1−a2>a−1
解得 0≤a<1.
答案解析:(1)分类讨论,分x1+x2=0、若x1+x2<0、x1+x2>0 三种情况,证明(x1+x2)与[f(x1)+f(x2)]符号相反.
(2)利用函数的定义域和单调性列出不等式组,求出解集.
考试点:奇偶性与单调性的综合;函数单调性的性质.
知识点:本题综合考查函数的定义域、单调性和奇偶性.