已知f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,求a的值;(2)当a=-2时,求f(x)的单调区间.

问题描述:

已知f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,求a的值;
(2)当a=-2时,求f(x)的单调区间.

(1)由题意得f'(x)=3x2+2ax-(2a+3),因为y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,
∴f'(-1)=2
∴f'(-1)=3-2a-(2a+3)=2,∴a=-

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2

(2)∵a=-2,∴f(x)=x3-2x2+x+4
∴f'(x)=3x2-4x+1,令f'(x)>0,得x>1 或 x<
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3

令f'(x)<0,得
1
3
<x<1

∴f(x)单调递增区间为(-∞,
1
3
)
,(1,+∞),f(x)单调递减区间为(
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3
,  1)