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△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列． （I）求角B的大小； （Ⅱ）若b=27，S△ABC＝23，求a，c的长．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:03:45
问题描述：

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

7
，S△ABC＝2
3
，求a，c的长．

答

（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，
∴-2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∴-2sinBcosB=sinB，
又B为三角形的内角，∴sinB≠0，
∴cosB=-

1
2
，
则B=
2π
3
；
（Ⅱ）∵B=
2π
3
，∴sinB=
3
2
，
又S△ABC
1
2
acsinB=2
3
，
∴ac=8①，
又b=2
7
，cosB=-
1
2
，
∴由余弦定理得：cosB=
a2+c2−b2
2ac
=
a2+c2−28
16
=-
1
2
，
可得：a2+c2=20，
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=20+16=36，
∴a+c=6②，
联立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2，
则a=2，c=4或a=4，c=2．

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