设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若x∈[0,π2],是否存在实数m,使函数f(x)的值域恰为[1/2,7/2]?若存在,请求出m的取值;若不存在,请说
问题描述:
设函数f(x)=2cos2x+2
sinxcosx+m(x∈R)
3
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈[0,
],是否存在实数m,使函数f(x)的值域恰为[π 2
,1 2
]?若存在,请求出m的取值;若不存在,请说明理由. 7 2
答
(I)由题意可得:
f(x)=2cos2x+2
sinxcosx+m
3
=1+cos2x+
sin2x+m
3
=2sin(2x+
)+m+1,π 6
所以函数f(x)的最小正周期T=
=π.2π 2
(Ⅱ)假设存在实数m符合题意,∵x∈[0,
],π 2
∴
≤2x+π 6
≤π 6
,则sin(2x+7π 6
)∈[−π 6
,1]…(9分)1 2
∴f(x)=2sin(2x+
)+m+1∈[m,3+m]…(10分)π 6
又∵f(x)∈[
,1 2
],解得 m=7 2
…(13分)1 2
∴存在实数m=
,使函数f(x)的值域恰为[1 2
,1 2
]…(14分)7 2