已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切. (1)求椭圆C1的方程; (2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过
问题描述:
已知椭圆C1:
+x2 a2
=1(a>b>0)的离心率为y2 b2
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
3
3
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程.
答
(1)由e=
,得
3
3
=1-e2=b2 a2
;2 3
由直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,得
=|b|.2
2
所以,b=
,a=
2
3
所以椭圆的方程是
+x2 3
=1.y2 2
(2)由条件,知|MF2|=|MP|,
即动点M到定点F2(1,0)的距离等于它到直线l1:x=-1的距离,
由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x