已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切. (1)求椭圆C1的方程; (2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过

问题描述:

已知椭圆C1

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程.

(1)由e=

3
3
,得
b2
a2
=1-e2=
2
3

由直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,得
2
2
=|b|.
所以,b=
2
,a=
3

所以椭圆的方程是
x2
3
+
y2
2
=1.
(2)由条件,知|MF2|=|MP|,
即动点M到定点F2(1,0)的距离等于它到直线l1:x=-1的距离,
由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x