如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为22的椭圆,点F为其右焦点.过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:直线PQ与圆O相切.

问题描述:

如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为

2
2
的椭圆,点F为其右焦点.过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.

(1)由题意,得a=2,e=22,∴c=1,∴b2=1.所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(6分)(2)∵P(-1,1),F(1,0),∴kPF=−12,∴kOQ=2.所以直线OQ的方程为y=2x.(10分)又椭圆的右准线方程为x=2,所以Q(2,4...
答案解析:(1)由题意,得a=

2
,e=
2
2
,c=1,b2=1.由此可知椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1

(2)由题意知直线OQ的方程为y=2x,又椭圆的右准线方程为x=2,所以Q(2,4),kPQ
4−1
2−(−1)
=1
.由此可知OP⊥PQ.所以直线PQ与圆O相切.
考试点:椭圆的标准方程;直线与圆的位置关系.

知识点:本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要注意公式的灵活运用.