高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
问题描述：
高等数学二重积分：求x^2+y^2+z^2=R^2,与 x^2+y^2+z^2=2Rz所围成图形的体积,
答
这是两个球体，半径都为R，圆心分别在(0,0,0)和(0,0,R)处，通过作图很容易发现要求的体积部分是一对上下对称的圆剖体，我们只需要求其中一个的体积就可以了。
将两个球在屏幕xOz投影,得到两个圆方程x^2+z^2=R^2，x^2+z^2=2Rz，联立方程组得：R^2=2Rz，z=R/2，这就是两个圆交点的Z坐标，所以平面z=R/2就是两个球的交线围成的平面
现来求球x^2+y^2+z^2=R^2在平面z=R/2以上部分的体积，用球坐标计算
∫[0->2π]dθ∫[0->π/3]dψ∫[0->R](p^2)sinψdp=2π∫[0->π/3](1/3)(R^3)sinψdψ
=-(2/3)π(R^3)*cosψ | [0->π/3] = (1/3)πR^3
故所求部分体积为V=2*(1/3)πR^3=(2/3)πR^3
答
∵所围成图形是关于xz平面和yz平面对称的∴所求体积=4×第一卦限体积∵由x²+y²+z²=R²==>z=√(R²-x²-y²)由x²+y²+z²=2Rz==>z=R-√(R²-x²-y²)∴第一...