求两柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的体积!
问题描述：
求两柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的体积!
答
取Z=根号下R^2-X^2,
由Zx=-X/根号下R^2-X^2,Zy=0
根号下1+Zx^2+Zy^2=R/根号下R^2-X^2
然后将所求面积分为16个区域,记其中一个区域的面积
为A1为R/根号下R^2-X^2
的二重积分,算出面积A1=R^2
所以表面积A=16A1=16R^2由对称性，只需计算xy平面上方部分的体积然后乘以2即可。
记D={（x，y）：x^2+y^2于是V=2倍的二重积分（D）根号(R^2--x^2--y^2)dxdy 极坐标变换x=rcosa,y=rsina
=2*积分（--pi/2到pi/2）da 积分（从0到Rcosa）根号(R^2--r^2)rdr
=4/3*积分（从0到pi/2）da (R^2--r^2)^(3/2)|上限r=0下限r=Rcosa
=4R^3/3*积分（从0到pi/2）(1--sin^3a)da
=4R^3/3*(pi/2--2/3)