设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：∯Σx2yz2dydz-xy2z2dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0）
问题描述：
设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：
x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z（1+xyz）dxdy=V．（a＞0） ∯ Σ
答
证明：由高斯公式，有左边积分=∭Ω(2xyz2−2xyz2+1+2xyz)dxdydz＝V+2∭Ωxyzdxdydz ∵∭Ωxyzdxdydz＝∫2π0sinθcosθdθ∫a0r3dr∫a2−r20zdz＝12sin2θ|2π0⋅∫a0r3dr∫a2−r20zdz＝0 ∴...
答案解析：将左边的第二类曲面积分转化为三重积分，然后将积分立体区域转化为球面坐标的形式计算三重积分即可证明．
考试点：用高斯公式计算曲面积分．
知识点：此题在计算三重积分的时候，也可以用对称性，即：由于Ω关于xoz面对称，又f（x，y，z）=xyz是Ω上关于y的奇函数，故
xyzdxdydz＝0．∭ Ω