已知a，b为正实数．（1）求证：a2b+b2a≥a+b；（2）利用（I）的结论求函数y=(1−x)2x+x21−x（0＜x＜1）的最小值．
问题描述：
已知a，b为正实数．
（1）求证：
+a2 b
≥a+b；b2 a
（2）利用（I）的结论求函数y=
+(1−x)2 x
（0＜x＜1）的最小值． x2 1−x
答
知识点：此题考查不等式证明中常用的方法：比较法和综合法．解答过程中关键在于要把问题变形，才能找到思路．
（1）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）-（ab2-b3）=a2（a-b）-b2（a-b）=（a2-b2）（a-b）=（a+b）（a-b）2．因为a，b为正实数，所以a+b＞0，（a-b）2≥0，所以a3+b3≥a2b+ab2又a2b+ab2=ab（a+b），所以a3+b3ab≥a+...
答案解析：（1）先利用比较法证明a3+b3≥a2b+ab2，再将该不等式同除以ab，即证．
（2）利用（1）中的结论知y=
+(1−x)2 x
≥（1-x）+x=1，即y的最小值为1．x2 1−x
考试点：不等式的证明．
知识点：此题考查不等式证明中常用的方法：比较法和综合法．解答过程中关键在于要把问题变形，才能找到思路．